Prove a propriedade dada, sendo a e b números positivos quaisquer e x e y , números reais quaisquer.

log_a(x^y) = y * log_a(x)

Passo 1

Para provarmos isso, vamos começar lembrando da definição de log

log a ⁡ b = c ⟺ a c = b

Então vamos mostrar que

a y log a ⁡ x

Vai ser igual a x y . Porque assim teríamos usado a definição de log somente.

Passo 2

Temos, pelas propriedades de potência:

a y log a ⁡ x = a log a ⁡ x y

Lembrando das propriedades básicas de log, temos

a log a ⁡ x = x

Assim:

a y log a ⁡ x = a log a ⁡ x y = x y

Pela definição de log

a y log a ⁡ x = x y ⟺ log a ⁡ x y = log a ⁡ x y = y log a ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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