Prove a propriedade dada, sendo a e b números positivos quaisquer e x e y , números reais quaisquer.

log_a(x ÷ y) = log_a(x) - log_a(y)

Passo 1

Para provarmos isso, vamos começar lembrando da definição de log

log a ⁡ b = c ⟺ a c = b

Então vamos mostrar que

a log a ⁡ x - log a ⁡ y

Vai ser igual a x ÷ y . Porque assim teríamos usado a definição de log somente.

Passo 2

Temos, pelas propriedades de potência:

a log a ⁡ x - log a ⁡ y = a log a ⁡ x a log a ⁡ y

Lembrando das propriedades básicas de log, temos

a log a ⁡ x = x

E

a log a ⁡ y = y

Assim:

a log a ⁡ x + log a ⁡ y = a log a ⁡ x a log a ⁡ y = x y

Mas essa fração representa uma divisão

a log a ⁡ x + log a ⁡ y = x ÷ y

Pela definição de log

a log a ⁡ x + log a ⁡ y = x ÷ y ⟺ log a ⁡ x ÷ y = log a ⁡ x - log a ⁡ y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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