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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 30

Prove a propriedade distributiva da convolução f * (g + h) = f * g + f * h

Passo 1

E aí cara, tudo bem?

Então ta, vamos lá

Pra começar, temos que

f * ( g + h ) = int_0^t f (tau) . (g (t - tau) + h (t - tau)) d tau ( I )

f * g + f * h = int_0^t f (tau) . g (t - tau) d tau + int_0^t f (tau) . h (t - tau) d tau ( I I )

E aí queremos provar essas expressões são iguais né?

Bom, temos

f * ( g + h ) = int_0^t f (tau) . (g (t - tau) + h (t - tau)) d tau

Fazendo a distributiva de multiplicação:

f * ( g + h ) = int_0^t f (tau) . g (t - tau) + f (tau) . h (t - tau) d tau

A integral da soma é a soma das integrais:

f * (g + h) = int_0^t f (tau) . g (t - tau) d tau + int_0^t f (tau) . h (t - tau) d tau

Que é exatamente a expressão ( I I )

Portanto, f * (g + h) = f * g + f * h

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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