Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 21
Nos problemas 21 e 22, suponha . Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
Passo 1
Bora lááá pra mais uma de Laplace
Temos
Onde
Tenho que te falar uma coisa, mas antes vamos chamar:
Agora sim, deixa eu te lembrar uma coisa: quando temos multiplicação no domínio , isso representa uma convolução no domínio
Então, a nossa transformada inversa vai ser:
Sacou? Então vamo que vamo
Passo 2
Pra começar, temos que encontrar o , para isso, vamos fazer a transformada inversa de :
Usando o teorema 7.3 do seu livro:
Agora vamos em frente
Passo 3
Queremos encontrar:
Mas já sabemos que , então:
Pela fórmula de convolução:
E fimmm!
Resposta
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Mostre que f ∗ f não precisa ser não negativa usando o exemplo f ( t ) = s e n ( t ) .
Prove a comutatividade, a distributividade e a associatividade para a convolução. ( a )f * g = g * f ( b )f * ( g 1 + g 2 ) = f * g 1 + f * g 2 ( c )f * ( g * h ) = ( f * g ) * h
Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução: F s = 1 s + 1 2 s 2 + 4
Considere a equação t + ∫ 0 t k t - ξ ξ d ξ = f ( t ) Em que f e k são funções conhecidas e deve ser determinada. Como a função desconhecida aparece debaixo do sinal da integral, a equação dada é dita
Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução: y ' ' + 2 y ' + 2 y = s e nα t ; y 0 = 0ey ' 0 = 0