Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 30
Prove que a série obtida no exercício 18 representa para qualquer .
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Neste exercício queremos provar que a série de fato representa a função para qualquer valor de . A estratégia será usar a série de Taylor para funções hiperbólicas e verificar que nossa série corresponde à expansão da função .
Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor genérica para a função :
Para , centrada em , temos:
Passo 2
Agora, vamos derivar a função algumas vezes para ver um padrão:
Podemos observar que as derivadas de alternam entre e .
Passo 3
Para o ponto :
A sequência de derivadas no ponto será:
Portanto, a série de Taylor de é:
Passo 4
Agora, para garantir que a série realmente representa para qualquer valor de , usamos a desigualdade de Taylor. Essa desigualdade nos ajuda a estimar o erro quando aproximamos uma função por sua série de Taylor parcial até o termo. A desigualdade é dada por:
Onde é o valor máximo de no intervalo considerado, e é o termo de resto da série de Taylor.
Para a função, sabemos que é limitado por , que é sempre finito para qualquer .
Então, temos:
Para qualquer , à medida que :
Isso mostra que a série de Taylor converge para para qualquer.
Portanto, a série representa para qualquer.
Resposta
A série representa para qualquer.