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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 29

Prove que a série obtida no exercício 17 representa senh ⁡ x para qualquer x .

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Neste exercício queremos provar que a série ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 ! de fato representa a função senh ⁡ x para qualquer valor de x . A estratégia será usar a série de Taylor para funções hiperbólicas e verificar que nossa série corresponde à expansão da função senh ⁡ x .

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor genérica para a função f x :

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! ( x   -   a ) n

Para senh ⁡ x , centrada em a = 0 , temos:

senh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! ( x ) n

Passo 2

Agora, vamos derivar a função senh ⁡ x algumas vezes para ver um padrão:

f x   = senh ⁡ x

f ' x = cosh ⁡ x

f ' ' x = senh ⁡ x

f ' ' ' x = cosh ⁡ x

  .

  .  

  .  

Podemos observar que as derivadas de senh ⁡ x alternam entre senh ⁡ x e cosh ⁡ x .

Passo 3

Para o ponto x = 0 :

senh ⁡ 0 = 0

cosh ⁡ 0 = 1

senh ⁡ 0 = 0

cosh ⁡ 0 = 1

A sequência de derivadas no ponto 0 será:

f 2 n ( 0 ) = 0

f 2 n + 1 ( 0 ) = 1

Portanto, a série de Taylor de senh ⁡ x é:

senh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ f 2 n + 1 ( 0 ) 2 n + 1 !

= x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 4

Agora, para garantir que a série realmente representa senh ⁡ x para qualquer valor de x , usamos a desigualdade de Taylor. Essa desigualdade nos ajuda a estimar o erro R n x quando aproximamos uma função f x por sua série de Taylor parcial até o n - é s i m o termo. A desigualdade é dada por:

R n x ≤ M x n + 1 n + 1 !

Onde M é o valor máximo de f n + 1 ( x ) no intervalo considerado, e R n x é o termo de resto da série de Taylor.

Para a função   senh ⁡ x , sabemos que f n + 1 ( x ) é limitado por cosh ⁡ x , que é sempre finito para qualquer x .

Então, temos:

R n x ≤ cosh ⁡ d x n + 1 n + 1 !

Para qualquer d > x , à medida que n → ∞ :

R n x → 0

Isso mostra que a série de Taylor converge para senh ⁡ x para qualquer   x .

Portanto, a série ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 ! representa senh ⁡ x para qualquer   x .

Resposta

A série ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 ! representa senh ⁡ x para qualquer   x .

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