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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 13

A fórmula de Taylor

f x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n + f n + 1 a ( n + 1 ) ! x - a n + 1

expressa o valor de f em x em termos dos valores de f e suas derivadas em x = a . Em computações numéricas, precisamos, portanto, que a seja um ponto onde conheçamos os valores de f e suas derivadas. Precisamos também que a esteja próximo o bastante dos valores de f em que estamos interessados para que x - a n + 1 seja tão pequeno que possamos desprezar o resto.

Nos Exercícios 9-14, quais séries de Taylor você escolheria para representar a função próxima do valor dado de x ? (Pode haver mais de uma boa resposta.) Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da série que você escolher.

13. cos ⁡ x próximo de x = 69

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos f x = cos ⁡ x . Temos que encontrar os valores de f ( x ) perto do ponto x = 6 9 . O ponto mais próximo de 6 9 é 2 2 π ​ onde podemos facilmente calcular f , os valores de f e suas derivadas. Escolhemos a série de Taylor da função dada em torno de a = 2 π . A série de Taylor para a função f ( x ) no ponto x = 2 2 π é dada por

f x = f 2 2 π + f ' 2 2 π x - 2 2 π + f ' ' 2 2 π 2 !   x - 2 2 π 2 + f ' ' ' 2 2 π 3 !   x - 2 2 π 3 + …

Passo 2

Agora, nossa missão é encontrar f 2 2 π ,     f ' 2 2 π ,   f ' ' 2 2 π ,   f ' ' ' 2 2 π ,   f 4 2 2 π ,   f 5 2 2 π   e   f 6 2 2 π . Diferenciando f ( x ) seis vezes, obtemos que

f x = cos ⁡ x

f ' x = s en ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = s en ⁡ x

f 4 x = cos ⁡ x

f 5 x = - s en ⁡ x

f ( 6 ) x = - cos ⁡ x

Agora, fazendo a substituição de x = 2 2 π , nós temos que

f 2 2 π = 1

f ' 2 2 π = 0

f ' ' 2 2 π = - 1

f ' ' ' 2 2 π = 0

f 4 2 2 π = 1

f 5 2 2 π = 0

f ( 6 ) 2 2 π = - 1

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f no ponto x = 2 2 π é igual a

f x = cos ⁡ x = f 2 2 π + f ' 2 2 π x - 2 2 π + f ' ' 2 2 π 2 !   x - 2 2 π 2 + f ' ' ' 2 2 π 3 !   x - 2 2 π 3 + …

Substituindo os termos

f x = 1 - 1 2 x - 22 π 2 + 1 4 ! x - 22 π 4 - 1 6 ! x - 22 π 6 + …

Resposta

f x = cos ⁡ x = 1 - 1 2 x - 22 π 2 + 1 4 ! x - 22 π 4 - 1 6 ! x - 22 π 6 + …

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