A fórmula de Taylor f x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n + f n + 1 a ( n + 1 ) ! x - a n + 1 expressa o valor de f em x em termos dos valores de f e suas derivadas em x = a . Em computações numéricas, precisamos, portanto, que a seja um ponto onde conheçamos os valores de f e suas derivadas. Precisamos também que a esteja próximo o bastante dos valores de f em que estamos interessados para que x - a n + 1 seja tão pequeno que possamos desprezar o resto.Nos Exercícios 9-14, quais séries de Taylor você escolheria para representar a função próxima do valor dado de x ? (Pode haver mais de uma boa resposta.) Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da série que você escolher.13. cos ⁡ x próximo de x = 69

f x = cos ⁡ x = 1 - 1 2 x - 22 π 2 + 1 4 ! x - 22 π 4 - 1 6 ! x - 22 π 6 + …

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 13

A fórmula de Taylor

expressa o valor de em em termos dos valores de e suas derivadas em . Em computações numéricas, precisamos, portanto, que a seja um ponto onde conheçamos os valores de e suas derivadas. Precisamos também que a esteja próximo o bastante dos valores de em que estamos interessados para que seja tão pequeno que possamos desprezar o resto.

Nos Exercícios 9-14, quais séries de Taylor você escolheria para representar a função próxima do valor dado de ? (Pode haver mais de uma boa resposta.) Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da série que você escolher.

13. próximo de

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos . Temos que encontrar os valores de perto do ponto . O ponto mais próximo de é onde podemos facilmente calcular , os valores de e suas derivadas. Escolhemos a série de Taylor da função dada em torno de . A série de Taylor para a função no ponto é dada por

Passo 2

Agora, nossa missão é encontrar . Diferenciando seis vezes, obtemos que

Agora, fazendo a substituição de , nós temos que

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por no ponto é igual a

Substituindo os termos

Resposta

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Série para t g - 1 x para | x |1 Deduza as séries t g - 1 x= π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 +⋅ ⋅ ⋅ ,x1 t g - 1 x= - π 2 - 1 x + 1 3 x 3 - 1 5 x 5 +⋅ ⋅ ⋅ ,x - 1 integrando a série 1 1 + t 2 =1 t 2 ⋅ 1 1

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