Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 9
A fórmula de Taylor
expressa o valor de em em termos dos valores de e suas derivadas em . Em computações numéricas, precisamos, portanto, que a seja um ponto onde conheçamos os valores de e suas derivadas. Precisamos também que a esteja próximo o bastante dos valores de em que estamos interessados para que seja tão pequeno que possamos desprezar o resto.
Nos Exercícios 9-14, quais séries de Taylor você escolheria para representar a função próxima do valor dado de ? (Pode haver mais de uma boa resposta.) Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da série que você escolher.
9. próximo de .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Consideremos . Temos que encontrar os valores de perto do ponto . O ponto mais próximo de é onde podemos facilmente calcular , os valores de e suas derivadas. Escolhemos a série de Taylor da função dada em torno de . A série de Taylor para a função no ponto é dada por
Passo 2
Agora, nossa missão é encontrar . Diferenciando três vezes, obtemos que
Agora, fazendo a substituição de , nós temos que
Passo 3
Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por no ponto é igual a
Substituindo os termos
Simplificando um pouco mais as coisas