Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 36
Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
E aí, amigos! Tudo certo?
Nossa questão pede que a gente encontre a convergência ou divergência da série, mas não diz qual método precisamos usar, então essa decisão fica por nossa conta.
Vamos olhar para a cara da nossa série:
Ela não tem um formato parecido com o de uma série-p?
Sempre que temos uma série parecida com uma série-p, podemos usar o Teste da Comparação.
Relembrando o Teste: achamos uma série que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série dada no enunciado.
- Se for convergente e para todo , então também será convergente.
- Se for divergente e para todo , então também será divergente.
É isso! Mas reparou que ainda não sabemos exatamente que valor de usar? Vamos dedicar nossos passos 2 e 3 para encontrar esse valor.
Bora!
Passo 2
Galera, note que podemos reescrever o denominador assim usando a propriedade dos logaritmos e exponenciais: . Fazendo e
Usando outra propriedade: ,vamos ter:
Se fizermos , então teremos:
Isso significa que podemos fazer com que fique tão grande quanto a gente queira, e portanto, podemos ter (já que pode ser tão grande quanto a gente queira, pode ser maior que 2, concorda?)
Passo 3
Vamos ver a seguir:
Usando a propriedade :
Lembrando que se , então (os sinais se invertem):
Lembrando que (início da resolução):
Passo 4
O seja, aqui nosso é:
Que é uma série-p com , ou seja, é uma série convergente.
Como converge, então, pelo Teste da Comparação, também converge.
Resposta
Série convergente.