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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 53

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,   2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar quantas retas tangentes à curva:

y = x x + 1

Passam pelo ponto ( 1   ,   2 ) e em quais pontos essas retas tocam à curva. Uma forma de descobrir isso é verificar a existência de pontos de tangência ( x 0 , y 0 ) .

Para fazer isso, precisamos identificar que temos uma equação da reta que pode ser dada por y = m x + q , onde m é a inclinação da reta e q o valor onde ela “corta” o eixo y .

Esse coeficiente angular da reta, m , é dado pela derivada de inclinação dessa reta também pode ser dada pela derivada da função em uma determinada coordenada de um ponto. Logo, o que buscaremos é:

m = y ' ( x 0 , y 0 )

Onde y ' é a derivada da função da curva e ( x 0 ,   y 0 ) o ponto de tangência.

Resumidamente, o que nós vamos fazer é derivar y para descobrir a inclinação da reta e substituir essa inclinação, junto com o ponto de tangência, na equação geral da reta.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso próximo passo será identificar que a nossa função é:

y = x x + 1

A derivada de y da curva será obtida pela Regra do Quociente, assim:

Sendo:

f = x

e

g = x + 1

Temos que:

f ' = 1 ,     g ' = 1

Substituindo na regra do quociente...

y ' = 1 x + 1 - x 1 x + 1 2 = 1 x + 1 2

Então, sabendo que m = y ' x 0 , y 0 , temos:

m = 1 x 0 + 1 2

Passo 3

Belezaaa, continuando a resolução, a ideia vai ser usar a equação da reta e os pontos dados no enunciado para encontrarmos os outros valores da função. Lembra que a equação da reta é dada por:

y = m x + q

Que tal substituirmos o ponto   ( 1   ,   2 ) que nos foi dado no enunciado?

2 = m 1 + q →     q = 2 - m  

Assim, a equação da reta pode ser escrita somente em função de m . Basta substituir q na equação da reta:

y = m x + q

y = m x + 2 - m

Bacana, não é? 😊

Passo 4

O ponto x 0 , y 0 pertence à reta e à curva, assim, podemos substituir o ponto em qualquer uma das funções. Substituindo na função, temos:

y 0 = x 0 x 0 + 1

Então, substituindo y 0 em y = m x + 2 - m , vamos ter:

x 0 x 0 + 1 = m x 0 + ( 2 - m )

Agora só falta substituir o coeficiente angular, m = 1 x 0 + 1 2 , nessa equação. Assim, temos:

x 0 x 0 + 1 = 1 x 0 + 1 2 x 0 + 2 - 1 x 0 + 1 2    

Simplificando para obter uma equação do segundo graus, teremos:

x 0 x 0 + 1 = x 0 + 2 x 0 + 1 2 - 1

x 0 2 + 4 x 0 + 1 = 0

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 5

Resolvendo essa equação do 2º em x 0 obtemos:

x 0 = - 2 + 3

Ou

x 0 = - 2 - 3 .

Logo, para x 0 = - 2 + 3 , teremos:

y 0 = x 0 x 0 + 1

y 0 = - 2 + 3 - 2 + 3 + 1

y 0 = 3 - 2 3 - 1

E para x 0 = - 2 - 3 , teremos:

y 0 = x 0 x 0 + 1

y 0 = - 2 - 3 - 2 - 3 + 1

y 0 = 3 - 2 - 3 - 1

Portanto, temos dois pontos de tangência e, assim, temos duas retas tangentes à curva e que passam pelo ponto ( 1   ,   2 ) .

Os pontos de tangência são - 2 + 3   ,   3 - 2 3 - 1   e   - 2 - 3   ,   3 - 2 - 3 - 1   .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Os pontos de tangência são - 2 + 3   ,   3 - 2 3 - 1   e   - 2 - 3   ,   3 - 2 - 3 - 1   .

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