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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 22

Verificar que o centro de massa de uma esfera de raio 1 coincide com seu centro, sabendo que a sua distribuição de massa é homogênea.

Passo 1

Vamos considerar uma esfera de raio 1 centrada na origem (mas pode ser em qualquer centro). A equação dela é:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

O centro no caso é ( 0,0 , 0 ) .

Vamos calcular a massa, considerando que a densidade é homogênea, vamos colocar δ = k .

Transformando para coordenadas esféricas, temos:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Onde, 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ ϕ ≤ π   e   0 ≤ ρ ≤ 1 .

d x d x y d z = ρ 2 s e n ϕ   d ρ d ϕ d θ

Montamos a integral da massa:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 k ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

Passo 2

Vamos desenvolver essa integral agora...

k ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π s e n ϕ   d ϕ p 3 3 0 1

= 1 3 k ∫ 0 2 π d θ - c o s ϕ 0 π

1 3 k ∫ 0 2 π 2   d θ

= 4 π k 3

Essa é a massa.

O centro de massa então será:

x - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 k   p s e n ϕ cos ⁡ θ ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

= k ∫ 0 2 π c o s θ   d θ   ∫ 0 π s e n 2 ϕ   d ϕ ∫ 0 1 p 3 d ρ

= 1 4 k ∫ 0 2 π c o s θ   d θ π 2  

= π k 8 s e n   θ 0 2 π

= 0

A coordenada x então deu zero.

Passo 3

Vamos ver a coordenada y ...

y - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 ρ s e n ϕ s e n   θ k ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π s e n   θ   ∫ 0 π s e n 2 ϕ d ϕ ∫ 0 1 p 3 d ρ

(essa duas últimas a gente já fez, vamos só repetir...)

π 8 k ∫ 0 2 π s e n   θ   d θ

= π 8 k [   - cos ⁡ θ ] 0 2 π

= π 8 k   - 1 + 1

= 0

Aqui também deu zero, como queríamos. Só falta a coordenada z agora...

Passo 4

Mesma coisa, vamos lá...

z - = 1 M ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 ρ cos ⁡ ϕ k ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ  

= k ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π cos ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ϕ ∫ 0 1 ρ 3 d ρ

= 1 4 k ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π cos ⁡ ϕ s e n ϕ d ϕ

= 1 4 k   ∫ 0 2 π s e n 2 θ 2 0 π d θ

= 1 4 k   ∫ 0 2 π 0 2 - 0 0 d θ

= 0

Ou seja, a coordenada z também é zero.

Logo, o centro de massa coincide com o centro da esfera que é ( 0,0 , 0 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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