Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 43
Prove o Teorema 5.6.2.:
Se for definida no intervalo fechado , e se
existe, onde é qualquer partição de , então se for uma constante qualquer,
Passo 1
Quando temos uma questão de provar teoremas envolvendo somatório, uma boa alternativa geralmente é abrir o somatório pra observar se fica mais intuitivo o resultado. É isso que faremos então.
Passo 2
No lado esquerdo da equação, temos um somatório com termos , se iniciando em e terminando para um N muito grande. Abrindo o somatório, então ele fica assim:
Passo 3
Dentro do limite, podemos colocar o em evidência. Ficamos então com:
Agora, sabemos pelas propriedades de limite que podemos tirar a constante de dentro do limite.
Passo 4
Agora que já tiramos o de dentro da expressão, podemos voltar ao somatório. Dentro do limite agora temos os mesmos termos , agora sem o , ainda iniciando no e terminando num muito grande. Então, nossa expressão fica assim:
Que é exatamente o que queríamos achar inicialmente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)