Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada:

a = b < c

(Teorema dado no livro).

Passo 1

O teorema citado diz que se temos um intervalo qualquer contendo a , b , e c no qual f ( x ) é integrável, teremos o resultado ∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x , independente da ordem de a , b , e c . Sabemos de outro teorema que o resultado é válido para a < c < b , queremos agora partir desse resultado provar para a ordem a = b < c .

Passo 2

Se a = b < c , podemos afirmar, pela ordem convencional do teorema que:

∫ a c f x d x = ∫ a b f x d x + ∫ b c f x d x

Mas como a = b , temos ∫ a b f x d x = 0 e a expressão então fica:

∫ a c f x d x = ∫ b c f x d x

Mas o resultado que queremos é:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Que, como ∫ a b f x d x = 0 , é equivalente a:

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x = 0

Da segunda equação passamos ∫ b c f x d x para a esquerda, ficando com:

∫ a c f x d x - ∫ b c f x d x = 0

Invertendo os limites de integração da segunda integral e a multiplicando por - 1 , chegamos ao resultado que queríamos:

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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