Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 42
Prove o Teorema 7.2.2 (ii).
Passo 1
A questão pede para provarmos a parte (i) do teorema 7.2.2 que basicamente diz que se for contínua e decrescente no intervalo fechado , então sua inversa também será contínua no intervalo .
Para provarmos que é contínua no intervalo , temos que provar que para todo nesse intervalo, existe um suficientemente pequeno existe um tal que
Por simplicidade, vamos chamar . Assim, . Desta forma, queremos mostrar que para todo , existe um tal que
Passo 2
Na parte (i) (exercício 41), provamos que é decrescente. Assim, como está no domínio de , temos que . Desta forma, temos que
Mas como é decrescente por hipótese:
Ou ainda,
Passo 3
O que nós precisamos é achar um em função de tal que
Para isso, vamos escolher
Neste caso, temos que
Ou ainda,
Mas . Assim, usando as desigualdades logo acima:
Como é decrescente (parte (i)), temos que
Assim, temos que
Desta forma, com a escolha , para todo ocorre
Como isso acontece, vemos que é contínua!
Resposta
Demonstração.