Prove o Teorema 7.2.2 (ii).

Passo 1

A questão pede para provarmos a parte (i) do teorema 7.2.2 que basicamente diz que se f for contínua e decrescente no intervalo fechado [ a ,   b ] , então sua inversa f - 1 também será contínua no intervalo f b ,   f a .

Para provarmos que f - 1 é contínua no intervalo f b ,   f a , temos que provar que para todo r nesse intervalo, existe um ϵ > 0 suficientemente pequeno existe um δ > 0 tal que

s e     y - r < δ ⇒ f - 1 y - f - 1 r < ϵ

Por simplicidade, vamos chamar s = f - 1 r . Assim, r = f ( s ) . Desta forma, queremos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que

s e     y - r < δ ⇒ f - 1 y - s < ϵ

Passo 2

Na parte (i) (exercício 41), provamos que f - 1 é decrescente. Assim, como s está no domínio de f , temos que a < s < b . Desta forma, temos que

a ≤ s - ϵ < s < s + ϵ ≤ b

Mas como f é decrescente por hipótese:

f a ≥ f s - ϵ > f s > f s + ϵ ≥ f ( b )

Ou ainda,

f b ≤ f s + ϵ < r < f s - ϵ ≤ f ( a )

Passo 3

O que nós precisamos é achar um δ em função de ϵ tal que

s e     y - r < δ ⇒ f - 1 y - s < ϵ

Para isso, vamos escolher

δ = min ⁡ { f s - ϵ - r ,   r - f s + ϵ }

Neste caso, temos que

δ ≤ f s - ϵ - r           e           δ ≤   r - f s + ϵ

Ou ainda,

f s - ϵ ≥ r + δ           e           f s + ϵ ≤ r - δ

Mas y - r < δ ⟺ r - δ < y < r + δ . Assim, usando as desigualdades logo acima:

f s + ϵ ≤ r - δ < y < r + δ ≤ f s - ϵ

Como f - 1 é decrescente (parte (i)), temos que

f s + ϵ < y < f s - ϵ ⇒ f - 1 f s + ϵ > f - 1 y > f - 1 f s - ϵ

Assim, temos que

s - ϵ < f - 1 y < s + ϵ ⇒ f - 1 y - s < ϵ

Desta forma, com a escolha δ = min ⁡ { f s - ϵ - r ,   r - f s + ϵ } , para todo ϵ > 0 ocorre

s e     y - r < δ ⇒ f - 1 y - s < ϵ

Como isso acontece, vemos que f - 1 é contínua!

Resposta

Demonstração.

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