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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 28

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = x ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x

Passo 1

Aqui temos um quociente, então vamos ter que usar a regra do quociente que diz que se y = f ( x ) / g x , então

y ' = f ' x g x - g ' x f x g 2 x

Fica atento naquele sinal de menos safado alí no meio!

Passo 2

Aqui temos que f x = x ln ⁡ x e g x = 1 + ln ⁡ x . Então, vamos calcular as derivadas dessas funções:

g ' x = 1 + ln ⁡ x ' = 1 ' + ln ⁡ x ' = 0 + 1 x = x - 1

Passo 3

Para calcular a derivada de f , vamos precisar usar a regra do produto, pois f ( x ) = h x w ( x ) onde h x = x e w x = ln ⁡ x . Pela regra do produto, temos que

f ' x = h ' x w x + h x w ' x = 1 ln ⁡ x + x 1 x = ln ⁡ x + 1

Passo 4

Juntando tudo temos que

y ' = ( ln ⁡ x + 1 ) ( 1 + ln ⁡ x ) - x - 1 x ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 = 1 + ln ⁡ x 2 - ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2

Resposta

y ' = 1 + ln ⁡ x 2 - ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2

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