Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 40
O volume de um balão está decrescendo a uma taxa proporcional à sua área superficial. Mostre que o raio do balão diminui a uma taxa constante.
Passo 1
Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:
- Leia cuidadosamente o problema.
- Se possível, faça um diagrama.
- Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
- Escreva uma equação que relacione as variáveis.
- Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
- Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.
, isto é, a taxa de variação do volume é proporcional a área superficial do balão.
Com base nisso, encontraremos .
Passo 2
O volume de um balão esférico é dado por
E a área superficial:
Passo 3
Voltando para afirmação da questão:
, este k é um número
Como já temos A e V, podemos calcular a derivada de V:
Então, está provado que o o raio do balão diminuirá a uma taxa constante.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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