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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 1b

Para a função abaixo calcule: underset(x -> 2)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2)

f (x) = (1)/(x) , x != 0

Passo 1

Para o limite dado x -> 2^() , precisamos analisar os limites laterais primeiro e calcular f ( 2 ) .

Assim: f (2) = (1)/(2)

Para x -> 2^+ , temos que:

underset(x -> 2^+)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) ((1)/(x) - (1)/(2))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) ((2 - x)/(2 x))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) (- ( x - 2 ))/(2 x) . (1)/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) - (1)/(2 x) = - (1)/(4)

Passo 2

De forma análoga, para x -> 2^- , temos que:

underset(x -> 2^-)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^-)(lim) - (1)/(2 x) = - (1)/(4)

Passo 3

Como underset(x -> 2^+)(lim) (- 1)/(2 x) = - (1)/(4) e underset(x -> 2^-)(lim) (- 1)/(2 x) = - (1)/(4) , conclui-se que como os limites laterais são iguais e portanto underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) existe e é dado por:

underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = - (1)/(4)

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

underset(x -> a)(lim) f (x) = L s e e s o m e n t e s e underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Resposta

- (1)/(4)

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