Prove que se f x = g x para todos os valores de x , exceto x = a , então lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x , se todos os limites existirem.

Passo 1

Aplicando a Definição 2.1.1 para f x temos que

Se 0 < x - a < δ   , então f x   - L < ϵ

Passo 2

Como f x = g x e a Definição 2.1.1 nos diz que independente se a função está definida para quando x = a   podemos encontrar o limite, então basta aplicar a igualdade na expressão e temos

Se 0 < x - a < δ   , então g x   - L < ϵ

Assim se lim x → a ⁡ f x = L também teremos lim x → a ⁡ g x = L e portanto lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x , isto é se provado a existência desses limites, para isso basta provar existência do limite de uma das funções e a outra será provada por consequência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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