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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 51

Prove que x - 1 - ln ⁡ x > 0   e   1 - ln ⁡ x - 1 x < 0   para todo x > 0 e x ≠ 1 , estabelecendo assim a desigualdade 1 - 1 x < ln ⁡ x < x - 1 para todo x > 0 e x ≠ 1 .

Passo 1

Seja f x = x - 1 - l n x e g x = 1 - l n x - 1 / x . Vamos derivar cada uma dessas funções.

f ' x = 1 - 1 x g ' x = - 1 x + 1 x 2

Passo 2

No intervalo ( 0,1 ) , temos que f ' x < 0 e para o intervalo ( 1 , + ∞ ) , temos que f ' x > 0 , indicanfo que f tem um valor mínimo absoluto quando x = 1 e f 1 = 0 . Logo, se x ≠ 1 , x - 1 - l n x > 0 ; l n x < x - 1 .Para o intervalo ( 0,1 ) , temos que g ' x > 0 e para o intervalo ( 1 , + ∞ ) , temos que g ' x < 0 , g tem um valor de máximo quando x = 1 e g 1 = 0 . Logo, se x ≠ 1 , 1 - l n x - 1 x > 0 ; 1 - 1 x < l n x .

Combinando as duas relações mostramos que para x > 0   e   x ≠ 1 :

1 - 1 x < l n x < x - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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