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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 18

Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

18.

f (x) = ln ((1)/(x) + (1)/(x^2))

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( x ) dada. Para isso, precisamos saber que a derivada de uma g (x) = ln x é g^' (x) = (1)/(x) .Podemos escrever a função de uma maneira que fique melhor para derivar:

f (x) = ln (x^(- 1) + x^(- 2))

Também temos que considerar escrever a função f (x) = ln (x^(- 1) + x^(- 2)) como sendo f (x) = ln (h ( x )) em que usamos a regra da cadeia para fazer essa derivada . Tendo em mente a informação acima, para derivar a função f ( x ) podemos usar a regra da cadeia. Assim a derivada de f (x) é a seguinte:

f^' (x) = (1)/((x^(- 1) + x^(- 2))) xx (- 1 x^(- 1 - 1) - 2 x^(- 2 - 1))

f^' (x) = (1)/((x^(- 1) + x^(- 2))) xx (- 1 x^(- 2) - 2 x^(- 3))

f^' (x) = ((- 1 x^(- 2) - 2 x^(- 3)))/((x^(- 1) + x^(- 2)))

f^' (x) = - (((1)/(x^2) + (2)/(x^3)))/(((1)/(x) + (1)/(x^2)))

f^' (x) = - (((x + 2)/(x^3)))/(((x + 1)/(x^2)))

f^' (x) = - (x^2 (x + 2))/(x^3 ( x + 1 ))

f^' (x) = - ((x + 2))/(x ( x + 1 ))

Temos então que a derivada de f (s) é:

f^' (x) = - ((x + 2))/(x ( x + 1 ))

Resposta

f^' (x) = - ((x + 2))/(x ( x + 1 ))

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