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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 60

Prove:

(a) arccosh x = ln (x + sqrt(x^2 - 1)) , x >= 1

(b) arctanh x = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , - 1 < x < 1

Passo 1

Bom, para começar fazendo as demonstrações de cada identidade devemos lembrar das suas definições!

Para o item (a), temos y = arccosh x , então podemos dizer que x = cosh y , logo

x = (1)/(2) (e^y + e^(- y))

e^y + e^(- y) - 2 x = 0

Que pode ser reescrito como:

e^(2 y) - 2 x e^y + 1 = 0

Isolando e^y :

e^y = (2 x +- sqrt(4 x^2 - 4))/(2)

= x +- sqrt(x^2 - 1)

Para determinar qual sinal usar, devemos notar que se y >= 0 :

e^(- y) <= e^y

Substituindo:

x = (1)/(2) (e^y + e^(- y)) <= (1)/(2) (e^y + e^y) = e^y

Consequentemente, e^y >= x , então:

e^y = x + sqrt(x^2 - 1)

Assim, arccosh x = ln (x + sqrt(x^2 - 1)) .

Passo 2

Para o item (b), temos y = arctanh x , então x = tanh y , logo

x = (e^y - e^(- y))/(e^y + e^(- y))

x = (e^(2 y) - 1)/(e^(2 y) + 1)

Assim,

x e^(2 y) + x = e^(2 y) - 1

1 + x = e^(2 y) (1 - x)

Isolando e^(2 y) :

e^(2 y) = (1 + x)/(1 - x)

Portanto, arctanh x = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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