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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 60

Quadráticas com uma tangente em comum As curvas y = x 2 + a x + b e y = c x - x 2 têm uma tangente em comum no ponto 1 , 0 . Determine a ,   b e c .

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer nesse exercício é achar as equações das tangentes das duas curvas. Para isso precisamos encontrar os coeficientes angulares:

m 1 = x 2 + a x + b '

m 1 = 2 x 2 - 1 + a x 1 - 1 + 0

m 1 = 2 x + a

m 2 = c x - x 2 '

m 2 = c x 1 - 1 - 2 x 2 - 1

m 2 = c - 2 x

Passo 2

Como as duas curvas possuem a mesma tangente, os coeficientes angulares m 1 e m 2 são iguais:

2 x + a = c - 2 x

Substituindo o valor de x dado no exercício:

2 ∙ 1 + a = c - 2 ∙ 1

2 + b = c - 2

b = c - 4

Passo 3

Agora podemos substituir o ponto dado 1,0 nas curvas:

0 = 1 2 + a ∙ 1 + b

a = - b - 1

0 = c ∙ 1 - 1 2

c = 1

Logo,

b = c - 4 = 1 - 4 = - 3

a = - b - 1 = - - 3 - 1 = 2

Resposta

a = 2 ,   b = - 3 ,   c = 1

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