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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 52

Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52.

w = e z z + 1 z 2 + 1

Passo 1

A questão pede para obter a primeira e a segunda derivadas de w z . Como temos um produto, utilizaremos da regra do produto da derivada

w ' = f g h ' = ( f g ) ' h + f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 1:

w ' = e z z + 1 z 2 + 1 '

w ' = e z ' z + 1 z 2 + 1 + e z z + 1 ' z 2 + 1 + e z z + 1 z 2 + 1 '

w ' = e z z + 1 z 2 + 1 + e z z 1 - 1 + 0 z 2 + 1 + e z z + 1 2 z 2 - 1 + 0

w ' = e z z + 1 z 2 + 1 + e z z 2 + 1 + e z z + 1 2 z

w ' = e z z + 1 z 2 + 1 + z 2 + 1 + z + 1 2 z

Fazendo o chuveirinho

w ' = e z z 3 + z + z 2 + 1 + z 2 + 1 + 2 z 2 + 2 z

w ' = e z z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2

Pronto, calculamos a primeira derivada de w z .

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

w ' ' = e z z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2 '

Como temos um produto,

w ' ' = e z ' z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2 + e z z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2 '

w ' ' = e z z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2 + e z 3 z 3 - 1 + 2 ∙ 4 z 2 - 1 + 3 z 1 - 1 + 0

w ' ' = e z z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2 + e z 3 z 2 + 8 z + 3

Colocando o e z em evidência:

w ' ' = e z z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2 + 3 z 2 + 8 z + 3

w ' ' = e z z 3 + 7 z 2 + 11 z + 5

Pronto!!!

Resposta

w ' = e z z 3 + 4 z 2 + 3 z + 2

w ' ' = e z z 3 + 7 z 2 + 11 z + 5

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(a) Se f x = e x cos ⁡ x , encontre f ' ( x ) e f " ( x ) .(b) Verifique que sua resposta para a parte (a) é razoável fazendo os gráficos de f , f ' e f " .
Encontre a derivada. Simplifique quando possível. 30 . f x = e x senh ⁡ x
Derive. f ( θ ) = s e cθ 1+s e cθ
Derive. y = 1-s e cx t gx
Derive. y = e u( c o su+c u )