Se h(2) = 4 e h'² = -3 , encontre

d / dx { h(x) / x } | x = 2

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão aqui disse pra gente que h 2 = 4 e h ' 2 = - 3 , e pediu pra gente encontra

d d x h x x | x = 2

Ou seja, teremos que calcular a derivada de uma função definhada por h x x , no ponto x = 2 .

Vamos chamá-la de f x para facilitar um pouco a nossa resolução. Beleza?

Mas repare que a função f x é formada pela divisão de duas outras funções, sendo uma a funç��o h x e a outra a função que vamos chamar de g x = x .

Para derivar funções que são expressas pela divisão entre duas outras funções podemos sempre usar a regra do quociente. Assim, vamos fazer

f x = h x   g x

Onde chamaremos g x = x .

E a regra do produto será:

f ' = h ' g - h g ' g 2

Maravila, agora vamos usar todas as informações do enunciado para encontrar essa derivada aí. Beleza!!!

Passo 2

Como a regra do quociente é dada por

f ' = h ' g - h g ' g 2

Precisaremos das funções h ( x ) , g ( x ) e de suas derivadas no ponto x = 2 .

O enunciado nos disse que

h 2 = 4

e

h ' 2 = - 3

E fizemos:

g x = x

Assim:

h 2 = 2

e

h ' x = 1

Então

h ' 2 = 1

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir diretamente na fórmula.

Passo 3

Assim, nossa derivada se torna:

f ' = h ' g - h g ' g 2

f ' 2 = h ' 2 2 - h 2 1 2 2

f ' 2 = - 3 2 - 4 1 4

f ' 2 = - 10 4 = - 5 2

E prontinho, calculamos a derivada da função f x no ponto pedido.

Resposta

f ' 2 = - 5 2

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