Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 22
(a) Quanto tempo levará para um investimento dobrar de valor se a taxa de juros for de , capitalizados continuamente?
(b) Qual a taxa de juros anual equivalente?
Passo 1
Oiii galerinha, bora láa?
Este enunciado trata de um problema relacionado ao crescimento de um investimento ao longo do tempo, quando sujeito a uma taxa de juros composta continuamente.
(a) Quanto tempo levará para um investimento dobrar de valor se a taxa de juros for de 6%, capitalizados continuamente?
Isso significa que estamos interessados em descobrir em quanto tempo um investimento irá dobrar de valor quando sujeito a uma taxa de juros de 6% ao ano, e essa taxa é aplicada continuamente ao longo do tempo.
Por exemplo, se um investimento inicialmente valia $1000, queremos saber em quanto tempo ele chegará a valer $2000, dado que a taxa de juros é de 6% ao ano, capitalizados continuamente.
(b) Qual a taxa de juros anual equivalente?
Nesta parte, estamos interessados em encontrar uma taxa de juros anual equivalente à taxa de juros de 6% ao ano, capitalizados continuamente. Essa taxa de juros equivalente nos dá a taxa de juros composta anual que produziria o mesmo efeito que uma taxa de juros de 6% ao ano, capitalizados continuamente.
Em outras palavras, é a taxa de juros que, se aplicada anualmente, resultaria no mesmo crescimento do investimento ao longo do tempo.
Passo 2
Letra a:
Em problemas de capitalização de juros, temos a fórmula recorrente representada por:
Onde as variáveis são:
: A quantia em função do tempo;
: A quantia inicial;
: O tempo em anos;
: A taxa de juros;
: O número de capitalizações por ano.
Neste caso, como a taxa de juros é capitalizada continuamente, tende ao infinito e isso nos dá a seguinte formula do investimento:
A taxa de juros é de , então, .
Queremos o tempo para que um investimento dobre seu valor inicial, então :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação, obteremos
Logo, é necessário aproximadamente anos para que o investimento dobre.
Passo 3
Letra b:
A taxa de juros anual equivalente pode ser obtida através da fórmula dos juros compostos:
A taxa procurada diz respeito à taxa de juros que aplicada anualmente dobre seu valor inicial em anos.
Se a taxa é anual, então já que só será computada uma vez ao ano.
Tendo os dados vamos aplicar na fórmula:
Logo, a taxa de juros anual equivalente é aproximadamente ao ano.
Resposta
(a) É necessário aproximadamente anos para que o investimento dobre.
(b) A taxa de juros anual equivalente é aproximadamente ao ano.