Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 26
Quantos termos da série de Maclaurin de você precisa usar para estimar com precisão de ?
Passo 1
E ai, pessoal, tudo certo?
Nessa questão a gente quer saber quantos termos da série de Maclaurin a gente precisa pra garantir uma precisão de na estimativa de .
Pra isso, a primeira coisa que temos que fazer é achar qual a série de Maclaurin de Vamos olhar pra derivada de :
Ela tem uma cara parecida com uma série conhecida:
Então vamos usar isso aqui:
E transformar esse integrando numa série de potências. Daí, vamos ter a série de potência de .
Spoiler: vamos chegar em uma série alternada!!
Então, podemos usar o teorema da estimativa de séries alternadas pra descobrir quantos termos precisamos.
Ele diz que pra uma série alternada , se
- , e
- ,
Então,
Onde é o erro do polinômio de grau . Vamos usar (assim ), e descobrir pra qual valor de esse erro fica menor que .
Passo 2
Bom, começamos então comparando a série:
Com a derivada da nossa função, que vamos reescrever assim:
A única diferença entre as duas funções é que no lugar do , nossa função tem um , então fazendo essa substituição, a série fica:
Só que isso é a derivada da nossa função, então:
Como o é nada mais que uma soma de infinitos termos, podemos colocar a integral pra dentro da soma (é o equivalente a abrirmos a integral de uma soma para a soma da integral de cada termo):
Agora esse pode sair da integral, por ser constante, e resolvemos:
Para , descobrimos o valor de :
Como ,
E achamos nossa série:
Se trocarmos por , nossa série começa no
Passo 3
Agora que sabemos qual a nossa série, e que é uma série alternada, vamos aplicar o teorema, para :
Para uma série alternada , se
- , e
- ,
Então,
Na nossa série:
Testando (i), queremos que
Podemos cancelar dos dois lados, já que é um valor positivo:
Como é um valor positivo, podemos multiplicar dos dois lados:
Só que , então é um número maior do que sempre (então claro que também vai ser maior ).
Então a condição (i) é satisfeita!
Testando (ii), queremos que
Percebe que como é menor que , elevar isso a um número muito grande () vai nos dar um número muito pequeno (). Então nossa fração tende pra alguma coisa do tipo , o que é . Isso confirma a condição (ii)!
Ou seja, temos que:
Passo 4
Precisamos de uma precisão de , o que vai acontecer quando o erro for menor que , então, queremos o menor valor de que:
Essa desigualdade não é trivial de resolver... então a forma mais fácil de descobrir o é ir calculando a partir de , até acharmos um valor menor ou igual a :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Então descobrimos que com termos nossa estimativa terá a precisão que o problema pediu!