Enunciado

(b) Calcule ∫ 0 1 J 0 x   d x corretamente com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Fala, galera! Tudo show?

Precisamos calcular a integral desse nosso amigão aqui, com um valor de três casas decimais, hein?

J 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2

Essa é a função de Bessel, que está no Exemplo 4 desta seção. Beleza?

É com ela que vamos trabalhar!

Passo 2

Vamos fazer a mágica acontecer:

∫ 0 1 J 0 x   d x

∫ 0 1 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2 d x

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 2 n ⋅ n ! 2 ⋅ 2 n + 1 1 0

Substituindo x = 1 :

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 ( 2 n + 1 )

Passo 3

Como já temos nossa série representada perfeitinha, podemos começar a substituir n por alguns valores.

Vamos chamar o que temos dentro da nossa série de a n = - 1 n 2 2 n n ! 2 ( 2 n + 1 )

Assim, quando

n = 0 ⇒ a 0 = 1.0

n = 1 ⇒ a 1 = - 0.08333333

n = 2 ⇒ a 2 = 0.0031250000

n = 3 ⇒ a 3 = - 0.0000620040

n = 4 ⇒ a 4 = 0.0000007535

Fala ter um valor cujo erro seja menor, iremos fazer uma soma parcial dos três primeiros resultados, assim:

a 0 + a 1 + a 2 ≈ 0.920

Resposta

∫ 0 1 J 0 x d x ≈ 0 . 920

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Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.
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Completando o quadrado, mostre que ∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 = π 3 3 Ao fatorar x 3 + 1 como uma soma de cubos, reescreva a integral do item a). Depois expresse 1 / ( x 3 + 1 ) como a soma de uma séri