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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 12

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

12. f x = x e x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Maclaurin para f x = x e x , a série de Maclaurin para e x é bem conhecida, como se segue

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Multiplicando pelo termo x , obtemos

x e x = ∑ n = 0 ∞ x ∙ x n n ! = ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n !

Resposta

x e x = ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n !

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