Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 126
Queda livre próximo à superfície de um planeta
Para uma queda livre perto da superfície de um planeta onde a aceleração da gravidade tern uma magnitude constante de unidades de comprimento/s², a Equação 1 do Exercício 125 toma a forma
onde é a altura do corpo acima da superfície. A equação tem um sinal negativo, pois a aceleração atua para baixo, no sentido da diminuição de . A velocidade será positiva se o objeto estiver subindo no tempo e negativa se o objeto estiver caindo. Em vez de utilizar o resultado do Exercício 125, é possível deduzir a Equação 2 diretamente por meio da resolução de um problema de valor inicial adequado. Qual problema de valor inicial? Resolva-o para se certificar de que é o problema certo, explicando os passos da solução conforme avançar.
Passo 1
Observando o exercício anterior (125), é possível notar que a equação do espaço a ser deduzida é semelhante tendo apenas uma variável diferente.
Assim, apenas a condição inicial do P.V.I. que envolver essa variável diferente que irá se alterar, cuja variável é o coeficiente que multiplica o a parte quadrática da função de segundo grau.
Com isso, podemos concluir que o P.V.I. será dado por:
Equação diferencial:
Condições iniciais: .
Para provar que esse é o P.V.I. correto, devemos realizar o procedimento para encontrar a solução do mesmo.
Passo 2
Então, para descobrir a velocidade, temos que:
Aplicando os valores da condição dada:
Com isso:
Passo 3
Agora, é possível determinar a equação do deslocamento que é representado pela integral da função velocidade, ou seja:
Para encontrar a constante , devemos aplicar as condições fornecidas. Assim, temos:
Logo, deduz-se a equação desejada:
E, portanto, o P.V.I. escolhido é o correto.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)