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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1e

1. Calcule

e ) int ln x d x

Passo 1

Aparentemente não sabemos fazer essa integral, mas podemos usar tática para resolvê-la. Podemos dizer o seguinte,

int ln x d x = int 1 ln x d x

Ou seja, agora temos duas funções e podemos usar a integração por partes.

Passo 2

Lembrando que a regra da integração por partes é dada por

int u d v = u v - int v d u

Onde o u será escolhido de acordo com uma regrinha conhecida como LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial), com essa ordem de preferência. Enquanto que a outra função será o d v .

Passo 3

No nosso caso, pela regrinha de LIATE, a função logarítmica tem preferência para ser u comparada à função algébrica. Assim, derivando u e integrando d v .

u = ln x => d u = (1)/(x) d x

d v = 1 d x => v = x

Passo 4

Substituindo os valores na integração por partes,

int u d v = u v - int v d u

int 1 ln x d x = x ln x - int x ((1)/(x) d x)

= x ln x - int 1 d x = x ln x - x + k = x ( ln x - 1 ) + k

Resposta

Portanto,

int ln x d x = x ( ln x - 1 ) + k

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