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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 16

Questão 16) Calcule a integral indefinida:

int x^(5 ) e^(x^2) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando x^(5 ) e^(x^2) não aparece da forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.

  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Analisando a formula de integração por partes

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer, certo ? vamos lá

Fazendo: F(x)= e^(x^2) -> d e r i v a n d o -> f’(x)= e^(x^2) 2 x

g’(x)= x^5 -> i n t e g r a n d o -> g(x)= (x^6)/(6)

Passo 3

Substituindo na formula; temos:

int x^(5 ) e^(x^2) dx = (e^(x^2) x^(6 ))/(6) - (1)/(6) int x^6 e^(x^2) 2 x dx

Note que, assim a solução não sai, pois continua complicado certo? O que fazer? Para esse problema precisa-se de uma substituição antes de usar integração por partes, façamos:

z= x^(2 ) , logo (d z)/(d x) = 2x -> dz= 2x dx certo? Então substitua esses passos na equação original que é

int x^(5 ) e^(x^2) dx = int ( x^2 )^2 x e^(x^2) dx = int ( z )^(2 ) e^z (d z)/(2)

Veja que:

d z = 2xdx -> (d z)/(2) = x d x -> int (z^2 e^2)/(2) d z

Passo 4

Substituindo na equação temos: int (z^2 e^2)/(2) dz = (z^2)/(2) e^2 - int z e^z dz, Percebe que temos que usar mais uma vez aintegracao por partes:

int z e^z dz F(x) =2 -> f’(x)= 1

g’(x)= e^z -> G(x)= e^z ,

Substituindo temos: int z e^z dz = 2 e^z - int e^z dz = z e^z - e^z , substituindo na equação original:

int (z^2 e^2)/(2) dz = (z^2 e^2)/(2) – (2 e^z - e^z )

= (z^2 e^2)/(2) – 2 e^z + e^z

Note que não podemos deixar em função de ‘’Z ‘’ , uma vez em que esta em função de X, então: Z= X^2 Substituindo novamente, temos

int x^(5 ) e^(x^2) d x = (x^4 e^(x^2))/(2) - x^2 e^(x^2) + e^(x^2) + c

= e^(x^2) ( (x^4)/(2) - x^2 + 1)+c.

Resposta

int x^(5 ) e^(x^2) d x = e^(x^2) ( (x^4)/(2) - x^2 + 1) + c.

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Utilize o item (a) do exercício 3, calcule:b ) int sen^4 x d x
Verifique que para todo natural n = 1 e todo real s0 .int t^n e^(- s t) d t = - (1)/(s) t^n e^(- s t) + (n)/(s) int t^(n - 1) e^(- s t) d t
Verifique que, para todo natural n != 0 , tem-se:b ) int cos^n x d x = (1)/(n) cos^(n - 1) x sin x + (n - 1)/(n) int cos^(n - 2) x d x
Verifique que, para todo natural n != 0 , tem-se:a ) int sen^n x d x = - (1)/(n) sen^(n - 1) x cos x + (n - 1)/(n) int sen^(n - 2) x d x
Calcule int e^(- s t) sin t d t ; s0 constante.