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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 3b

Verifique que, para todo natural n != 0 , tem-se:

b ) int cos^n x d x = (1)/(n) cos^(n - 1) x sin x + (n - 1)/(n) int cos^(n - 2) x d x

Passo 1

Vamos imaginar o seguinte para essa equação:

Se sabemos que (d (sin x))/(d x) = cos x podemos reescrever a integral dessa maneira:

int cos^n x d x = int cos^(n - 1) x xx cos x d x

Passo 2

E usar a integração por partes assim:

int u d v = u v - int v d u

Chegaremos em:

u = cos^(n - 1) x -> d u = - (n - 1) cos^(n - 2) x xx sin x d x e v = sin x -> d v = cos x d x

Assim:

int cos^n x d x = cos^(n - 1) x sin x - int - (n - 1) cos^(n - 2) x sin^2 x x d x =

= cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int cos^(n - 2) x (1 - cos^2 x) d x =

= cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int [cos^(n - 2) x - cos^(n - 2 + 2) x] d x =

= cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int [cos^(n - 2) x - cos^n x] d x =

int cos^n x d x = cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int cos^(n - 2) x d x - (n - 1) int cos^n x d x =

Passo 3

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo int sin^n x d x :

int cos^n x d x = cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int cos^(n - 2) x d x - (n - 1) int cos^n x d x =

Assim podemos passar para o outro lado somando:

int cos^n x d x + (n - 1) int cos^n x d x = cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int cos^(n - 2) x d x

(n - 1 + 1) int cos^n x d x = cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int cos^(n - 2) x d x

n int cos^n x d x = cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int cos^(n - 2) x d x

int cos^n x d x = (1)/(n) [cos^(n - 1) x sin x + (n - 1) int cos^(n - 2) x d x] =

int cos^n x d x = (1)/(n) cos^(n - 1) x sin x + ((n - 1))/(n) int cos^(n - 2) x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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