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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 4b

Utilize o item (a) do exercício 3, calcule:

b ) int sen^4 x d x

Passo 1

Vamos usar o regra que diz:

int sen^n x d x = - (1)/(n) sen^(n - 1) x cos x + (n - 1)/(n) int sen^(n - 2) x d x

Sendo, pro nosso caso, n = 4

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^(4 - 1) x cos x + (4 - 1)/(4) int sen^(4 - 2) x d x

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(4) int sen^2 x d x

Passo 2

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(4) int sen^2 x d x

Lembrado que sen^2 x = (1)/(2) (1 - cos 2 x)

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(4) int (1)/(2) (1 - cos 2 x) d x

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(8) int (1 - cos 2 x) d x

Vamos fazer uma substituição tal que: u = 2 x -> d u = 2 d x -> (d u)/(2) = d x

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(16) int (1 - cos u) d u

Como (d (sin u))/(d u) = cos u , assim:

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(16) [u - se n u]

Voltando para a variável x :

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(16) [2 x - se n 2 x]

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(8) x - (3)/(16) se n 2 x

Lembrando que sen 2 x = 2 sen x cos x

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(8) x - (3)/(8) sen x cos x

Não se esqueça da constante:

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(8) x - (3)/(8) sen x cos x + k

Resposta

int sen^4 x d x = - (1)/(4) sen^3 x cos x + (3)/(8) x - (3)/(8) sen x cos x + k

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