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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 3a

Verifique que, para todo natural n != 0 , tem-se:

a ) int sen^n x d x = - (1)/(n) sen^(n - 1) x cos x + (n - 1)/(n) int sen^(n - 2) x d x

Passo 1

Vamos imaginar o seguinte para essa equação:

Se sabemos que (d (cos x))/(d x) = - si n x podemos reescrever a integral dessa maneira:

int s in^n x d x = int si n^(n - 1) x xx si n x d x

Passo 2

E usar a integração por partes assim:

int u d v = u v - int v d u

Chegaremos em:

u = sin^(n - 1) x -> d u = (n - 1) sin^(n - 2) x xx cos x d x e v = - cos x -> d v = sin x d x

Assim:

int sin^n x d x = - sin^(n - 1) x cos x - int - (n - 1) sin^(n - 2) x cos^2 x x d x =

= - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x (1 - sin^2 x) d x =

= - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int [sin^(n - 2) x - sin^(n - 2 + 2) x] d x =

= - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int [sin^(n - 2) x - sin^n x] d x =

int sin^n x d x = - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x - (n - 1) int sin^n x d x =

Passo 3

Repare que dos dois lados temos o mesmo termo int sin^n x d x :

int sin^n x d x = - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x - (n - 1) int sin^n x d x =

Assim podemos passar para o outro lado somando:

int sin^n x d x + (n - 1) int sin^n x d x = - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x

(n - 1 + 1) int sin^n x d x = - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x

n int sin^n x d x = - sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x

int sin^n x d x = (1)/(n) [- sin^(n - 1) x cos x + (n - 1) int sin^(n - 2) x d x] =

int sin^n x d x = - (1)/(n) sin^(n - 2) x cos x + ((n - 1))/(n) int sin^(n - 2) x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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