A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. Calcule ∫ e - s t sin ⁡ t d t ; s > 0   constante.

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, e - s t   e sin ⁡ t são funções que conforme derivamos elas meio que se mantêm, então não faz muita diferença em qual vamos usar como u   o u   v na integração por partes

Vamos usar, então:

u = e - s t → d u = - s e - s t d t   e   v = - cos ⁡ t → d v = sin ⁡ t   d t

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - ∫ - cos ⁡ t - s e - s t d t

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - s ∫ cos ⁡ t e - s t d t

Passo 2

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - s ∫ cos ⁡ t e - s t d t

Novamente vamos ter uma integral por partes:

∫ cos ⁡ t e - s t d t

Tal que u = e - s t → d u = - s e - s t   e   v = sin ⁡ t → d v = cos ⁡ t

∫ cos ⁡ t e - s t d t = sin ⁡ t e - s t - ∫ - s e - s t sin ⁡ t d t = sin ⁡ t e - s t + s ∫ e - s t sin ⁡ t d t

Voltando para equação ∫ e - s t sin ⁡ t d t :

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - s ∫ cos ⁡ t e - s t d t

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - s sin ⁡ t e - s t + s ∫ e - s t sin ⁡ t d t

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - s sin ⁡ t e - s t - s 2 ∫ e - s t sin ⁡ t d t

Vemos que o termo ∫ e - s t sin ⁡ t d t aparece dos dois lados, vai ficar assim:

s 2 ∫ e - s t sin ⁡ t d t + ∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - s sin ⁡ t e - s t

( s 2 + 1 ) ∫ e - s t sin ⁡ t d t = - cos ⁡ t e - s t - s sin ⁡ t e - s t

∫ e - s t sin ⁡ t d t = 1 ( s 2 + 1 ) - cos ⁡ t e - s t - s sin ⁡ t e - s t = - e - s t ( s 2 + 1 ) cos ⁡ t + s sin ⁡ t

Não esqueça da constante:

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - e - s t s 2 + 1 cos ⁡ t + s sin ⁡ t + k

Resposta

∫ e - s t sin ⁡ t d t = - e - s t s 2 + 1 cos ⁡ t + s sin ⁡ t + k

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