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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 5

Calcule int e^(- s t) sin t d t ; s > 0 constante.

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, (e^(- s t) e sin t) são funções que conforme derivamos elas meio que se mantêm, então não faz muita diferença em qual vamos usar como u o u v na integração por partes

Vamos usar, então:

u = e^(- s t) -> d u = - s e^(- s t) d t e v = - cos t -> d v = sin t d t

int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - int (- cos t) (- s e^(- s t)) d t

int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - s int cos t e^(- s t) d t

Passo 2

int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - s int cos t e^(- s t) d t

Novamente vamos ter uma integral por partes:

int cos t e^(- s t) d t

Tal que u = e^(- s t) -> d u = - s e^(- s t) e v = sin t -> d v = cos t

int cos t e^(- s t) d t = sin t e^(- s t) - int - s e^(- s t) sin t d t = sin t e^(- s t) + s int e^(- s t) sin t d t

Voltando para equação int e^(- s t) sin t d t :

int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - s int cos t e^(- s t) d t

int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - s [sin t e^(- s t) + s int e^(- s t) sin t d t]

int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - s sin t e^(- s t) - s^2 int e^(- s t) sin t d t

Vemos que o termo int e^(- s t) sin t d t aparece dos dois lados, vai ficar assim:

s^2 int e^(- s t) sin t d t + int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - s sin t e^(- s t)

( s^2 + 1 ) int e^(- s t) sin t d t = - cos t e^(- s t) - s sin t e^(- s t)

int e^(- s t) sin t d t = (1)/(( s^2 + 1 )) [- cos t e^(- s t) - s sin t e^(- s t)] = - (e^(- s t))/(( s^2 + 1 )) [cos t + s sin t]

Não esqueça da constante:

int e^(- s t) sin t d t = - (e^(- s t))/((s^2 + 1)) [cos t + s sin t] + k

Resposta

int e^(- s t) sin t d t = - (e^(- s t))/((s^2 + 1)) [cos t + s sin t] + k

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