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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 22

Questão 22) Calcule a integral indefinida:

int c o s^(- 1) 2 x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve e além disso, Note que o integrando c o s^(- 1) 2 x não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além do mais, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X ) e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções

Passo 2

Façamos; F(x)= c o s^(- 1 ) 2 x -> f’(x)= (- 2)/(sqrt(1 - 4 x^2))

g’(x)= 1 -> integrando -> G(x)= x

Sente dificuldade em entender a derivada de c o s^(- 1 ) 2 x ? É bom buscar tabelas de integração notáveis e estuda-las, ou seja, é bom saber boa parte dessas integrais muito usadas para economizar tempo de solução, mas na duvida mostrarei aqui como chegar pra economizar seu tempo

(9 (d)/(d x) ( c o s^(- 1 ) ) = (- 1)/(sqrt(1 - x^2)) , certo ? so substituir o x por 2x. )

substituindo na formula de integração por partes

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

int c o s^(- 1) 2 x dx= c o s^(- 1) 2 x . x + int (2)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x

Passo 3

Resolvendo separadamente " int (2)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x " , usamos uma substituição simples,

seja u= 1 - 4 x^2 logo; (d)/(d x) = 1-8x -> d u = - 8 x d x -> (d u)/(- 4) = -4.2x dx , substituindo;

(- 1)/(4) int (d u)/(sqrt(u)) = (- 1)/(4) int u^((- 1)/(2)) d u = (- 1)/(4) . (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) = (- 1)/(4) . 2 u^((1)/(2)) = - (1 sqrt(u))/(2) = - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) ,

Agora substituindo na equação original;

int c o s^(- 1) 2 x dx = x . c o s^(- 1) 2 x . x - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) + c.

Resposta

int c o s^(- 1) 2 x dx = x . c o s^(- 1) 2 x . x - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) + c.

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