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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 4f

Calcule f^' ( p ) , pela definição, sendo dados

f ) f (x) = (1)/(x^2) ; p = 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos que fazer essa derivada aí pela definição.

Para quem não lembra, a fórmula é essa:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h - x) = underset(x -> p)(lim) (f (x) - f ( p ))/((x - p))

Aplicando para a nossa questão, ficamos com

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) ((1)/(x^2) - (1)/(4))/(x - 2)

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 2

Vamos começar ajeitando a função,

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) ((1)/(x^2) - (1)/(4))/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) ((4 - x^2)/(4 x^2))/(x - 2)

Podemos reescrever assim

underset(x -> 2)(lim) - (( x^2 - 4 ))/(4 x^2) . (1)/(x - 2)

Podemos escrever o denominador (x^2 - 4) como um produto notável e depois simplificar,

f^' (2) = underset(x -> 2)(lim) - ((x + 2) ( x - 2 ))/(4 x^2 ( x - 2 )) = underset(x -> 2)(lim) - (x + 2)/(4 x^2)

Então, quando x -> 2 temos que a derivada é:

f^' (2) = - (2 + 2)/(4.2^2) = - (4)/(16) = - (1)/(4)

Resposta

f^' (2) = - (1)/(4)

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