Calcule f'(p) , pela definição, sendo dados

f) f(x) = 1 / x^2; p = 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos que fazer essa derivada aí pela definição.

Para quem não lembra, a fórmula é essa:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h - x = lim x → p ⁡ f x - f ( p ) x - p

Aplicando para a nossa questão, ficamos com

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 1 x 2 - 1 4 x - 2

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 2

Vamos começar ajeitando a função,

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 1 x 2 - 1 4 x - 2 = lim x → 2 ⁡ 4 - x 2 4 x 2 x - 2

Podemos reescrever assim

lim x → 2 - ⁡ ( x 2 - 4 ) 4 x 2 . 1 x - 2

Podemos escrever o denominador x 2 - 4 como um produto notável e depois simplificar,

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ - x + 2 ( x - 2 ) 4 x 2 ( x - 2 ) = lim x → 2 ⁡ - x + 2 4 x 2

Então, quando x → 2 temos que a derivada é:

f ' 2 = - 2 + 2 4.2 2 = - 4 16 = - 1 4

Resposta

f ' 2 = - 1 4

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