Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 6h

Calcule f^' ( x ) , pela definição.

h ) f (x) = (1)/(x^2)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos resolver uma derivada! Lembrando que a definição de derivada f^' ( x ) é:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h)

Agora vamos aplicar para nossa função!

Passo 2

Aqui temos que f (x) = 1 // x^2 e f (x + h) = 1 // (x + h)^2 , então substituindo na definição temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 3

Trabalhando o numerador teremos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x^2 - (x + h)^2)/(x^2 (x + h)^2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((- h^2 - 2 x h)/(x^2 (x + h)^2))/(h)

Podemos reescrever a função assim e simplificar o h ,

= underset(h -> 0)(lim) - (h (h - 2 x))/(x^2 (x + h)^2) . (1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) - (h + 2 x)/(x^2 (x + h)^2)

Quando h -> 0 o valor de f^' ( x ) é:

f^' (x) = - (2 x)/(x^2 (x + 0)^2) = - (2 x)/(x^4) = - (2)/(x^3)

Beleza! Vamos pra próxima?

Resposta

f^' (x) = - (2)/(x^3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44. y = x 5 120
Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44. y = 4 x 3 + 3 x 2 - x
Determine todos os pontos x , y no gráfico de g x = 1 3 x 3 - 3 2 x 2 + 1 com tangentes paralelas à reta 8 x - 2 y = 1 .
Tangentes horizontais Determine equações para as tangentes horizontais à curva y = x 3 - 3 x - 2 . Também determine equações para as retas que são perpendiculares a essas tangentes nos pontos de tangê
O polinômio geral de grau n tem a forma P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Em que a n ≠ 0 . Determine P ' x .