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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 6h

Calcule f^' ( x ) , pela definição.

h ) f (x) = (1)/(x^2)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos resolver uma derivada! Lembrando que a definição de derivada f^' ( x ) é:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h)

Agora vamos aplicar para nossa função!

Passo 2

Aqui temos que f (x) = 1 // x^2 e f (x + h) = 1 // (x + h)^2 , então substituindo na definição temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/((x + h)^2) - (1)/(x^2))/(h)

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 3

Trabalhando o numerador teremos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x^2 - (x + h)^2)/(x^2 (x + h)^2))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((- h^2 - 2 x h)/(x^2 (x + h)^2))/(h)

Podemos reescrever a função assim e simplificar o h ,

= underset(h -> 0)(lim) - (h (h - 2 x))/(x^2 (x + h)^2) . (1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) - (h + 2 x)/(x^2 (x + h)^2)

Quando h -> 0 o valor de f^' ( x ) é:

f^' (x) = - (2 x)/(x^2 (x + 0)^2) = - (2 x)/(x^4) = - (2)/(x^3)

Beleza! Vamos pra próxima?

Resposta

f^' (x) = - (2)/(x^3)

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