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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 22

Determine M no gráfico de y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 1 , de modo que a área do triângulo de vértices 0 ,   0 , 1 ,   1 e M seja máxima.

Passo 1

Vamos lembrar que, dados três pontos A , B e C , a área S do triângulo cujos vértices são esses pontos pode ser calculada através do seguinte determinante:

S = 1 2 x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1

Passo 2

Então, teremos A = 0 ,   0 , B = 1 ,   1 e C = M = x ,   x 3 , de modo que a área será:

S = 1 2 0 0 1 1 1 1 x x 3 1 = 1 2 0 + 0 + x 3 - x - 0 - 0

S x = 1 2 x 3 - x

Ou seja, acabamos de obter a função área S x e queremos maximizá-la.

Passo 3

Assim, vamos derivar a função e igualar a zero. Como só queremos achar o ponto onde a derivada se anula, não precisamos nos preocupar com o módulo:

S ' x = 1 2 x 3 - x ' = 0

3 x 2 - 1 = 0

x = 1 3

x = 3 3

Passo 4

Para ter certeza de que esse ponto crítico corresponde ao máximo da função, vamos avaliá-la nesse ponto e nos extremos do seu domínio, 0 ≤ x ≤ 1 :

S 3 3 = 1 2 3 3 3 - 3 3 ≈ 0 , 19

S 0 = 0

S 1 = 0

Logo, x = 3 3 realmente nos dá a área máxima, e o ponto M será:

M = 3 3 ,   3 3 3

M = 3 3 , 3 9

Resposta

M = 3 3 , 3 9

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