Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 10
Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa o metro quadrado e na tampa material de o metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Passo 1
Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões da caixa cilíndrica que minimizm o custo do material. Pra isso, primeiro temos que entender como funciona a área do cilindro para saber quanto de material vamos gastar!
Assim, vamos usar a fórmula da área do cilindro:
Sendo e a altura e o raio do cilidro, respectivamente, a função custo será dada pelas áreas de cada parte do cilindro multiplicadadas pelo preço do material correspondente:
Porém, temos a informação do volume da caixa cilíndrica, :
Então, o que nós vamos fazer é substituir na fórmula do custo, para deixar a função apenas dependendo de . Em seguida, vamos minimizar essa função, derivando e igualando o resultado a zero. Por fim, vamos substituir o valor de que encontramos para achar o valor de correspondente.
Vamos lá!
Passo 2
Para deixar a função apenas dependendo de , vamos substituir na fórmula do custo. Logo, a função custo ficará assim:
Passo 3
Para achar a dimensão que minimiza o custo, vamos buscar o mínimo global da função . E a gente faz isso derivando e igualando a :
Igualando a zero:
Isolando :
Passo 4
Agora substituímos o valor de que encontramos para achar o valor de correspondente:
Então, as dimensões da caixa que minimizam o custo são e .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
e