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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 66

Reescreva sin ⁡ x + cos ⁡ x na forma:

A sin ⁡ ( x + ϕ )

E use seu resultado junto com o Exercício 65 para calcular

∫ d x sin ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 1

Bom galera, vamos pegar a nossa integral:

∫ d x sin ⁡ x + cos ⁡ x

E vamos dar uma mexidinha no denominador:

sin ⁡ x + cos ⁡ x = 2 2 sin ⁡ x + cos ⁡ x

= 2 1 2 sin ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x

= 2 cos ⁡ π 4 sin ⁡ x + sin ⁡ π 4 cos ⁡ x

= 2 sin ⁡ x + π 4

Passo 2

Belezinha, a gente usa essa nossa mexidinha no integral:

∫ d x sin ⁡ x + cos ⁡ x

= 1 2 ∫ d x sin ⁡ x + π 4 = 1 2 ∫ csc ⁡ x + π 4   d x

= - 1 2 ln ⁡ csc ⁡ x + π 4 + cot ⁡ x + π 4 + C

= - 1 2 ln ⁡ 2 2 sin ⁡ x + π 4 + 2 cos ⁡ x + π 4 2 s in ⁡ x + π 4 + C

= - 1 2 ln ⁡ 2 sin ⁡ x + cos ⁡ x + cos ⁡ x - sin ⁡ x 2 sin ⁡ x + π 4 + C

= - 1 2 ln ⁡ 2 + cos ⁡ x - sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C

Resposta

- 1 2 ln ⁡ 2 + cos ⁡ x - sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C

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