Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 83

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^(pi) s e n^2 ( 5 r ) d r

Passo 1

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

s e n^2 (x) = (1 - cos (2 x))/(2)

Assim, temos que:

int_0^(pi) s e n^2 (5 r) d r = int_0^(pi) (1 - cos (2 xx 5 r))/(2) d r = int_0^(pi) (1 - cos (10 r))/(2) d r

Passo 2

Vamos retirar a constante e aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que :

int_0^(pi) (1 - cos (10 r))/(2) d r = (1)/(2) int_0^(pi) ( 1 - cos (10 r) ) d r = (1)/(2) int_0^(pi) d r - (1)/(2) int_0^(pi) c o s ( 10 r ) d r

Passo 3

Vamos agora efetuar a integração e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função. Assim, temos:

(1)/(2) int_0^(pi) d r - (1)/(2) int_0^(pi) c o s ( 10 r ) d r = (1)/(2) (r) (pi)/(0) - (1)/(2) ((s e n (10 r))/(10)) (pi)/(0) =

= (1)/(2) (pi - 0) - (1)/(20) (s e n (10 pi) - s e n (0)) = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.61 ∫ s e n ѳ ⋅ c o s ѳ ⋅ c o s 3 ѳd ѳ ѳ ѳ ѳ ѳ
Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.57 ∫ s e n 2 ѳ ⋅ c o s 3 ѳd ѳ ѳ ѳ ѳ
Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.59 ∫ c o s 3 ѳ ⋅ s e n 2 ѳd ѳ ѳ ѳ ѳ
Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.58 ∫ c o s 2 2 ѳ ⋅ s e n ѳd ѳ ѳ ѳ ѳ
Os Exercícios 57-62 requerem o uso de várias identidades trigonométricas antes que seja feito o cálculo das integrais.60 ∫ s e n 3 ѳ ⋅ c o s 2 ѳd ѳ ѳ ѳ ѳ