Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 28

14.28. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 40

Passo 1

Oie, vamos resolver mais uma exercício hoje.

Nesta tarefa, precisamos usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar a distância mínima. Vamos calcular as derivadas parciais da funç��o dada, equalizá-las com as derivadas parciais da restrição multiplicadas com o multiplicador de Lagranges e então resolver o sistema de equações.

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 40 da seção 7. O enunciado é esse:

“Determine os pontos da superfície x 2 y 2 z = 1 que estão mais próximos da origem.”

Seguinte, a nossa restrição fica dessa forma:

g x , y , z = x 2 y 2 z = 1

Passo 2

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , essa seria uma equação para a distância do ponto para a origem:

d = x 0 - x 2 + y 0 - y 2 + z 0 - z 2

A distância é então:

d 2 = x 2 + y 2 + z 2

Transformando em função:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Vamos calcular o divergente

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z  

∇ f = 2 x ,   2 y , 2 z

E também precisamos do divergente de g x , y :

g x , y , z = x 2 y 2 z = 1

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z  

Calculando cada derivada parcial, iremos ficar com:

∇ g = 2 x y 2 z ,   2 x 2 y z ,   x 2 y 2

Passo 3

Vamos começar fazendo o sistema de equação usando o multiplicador de Lagrange:

f x = λ g x

2 λ x y 2 z = 2 x

Simplificando:

λ y 2 z = 1   ( I )

E agora para f y e g y :

f y = λ g y

2 λ x 2 y z = 2 y

λ x 2 z = 1     ( I I )

Finalmente:

f z = λ g z

λ x 2 y 2 = 2 z   ( I I )

Vamos lá, juntando as equações (I) e (II):

λ y 2 z = λ x 2 z

A gente corta o λ e o z

y 2 = x 2

Então:

x = ± y

Agora vamos fazer (III) dividido por (II):

λ x 2 y 2 λ x 2 z = 2 z 1

Então:

y 2 = 2 z 2

Ou seja:

y = ± 2 z

Logo

x = ± 2 z

Passo 4

Agora vamos usar a equação de restrição:

x 2 y 2 z = 1

Substituindo os valores que a gente encontrou com os multiplicadores de Lagrange:

2 z 2 2 z 2 z = 1

2 z 2 ⋅ 2 z 2 ⋅ z = 1

Então:

4 z 5 = 1

Então temos que:

z = 4 - 1 5 = 2 - 2 5

Agora podemos determinar as outras variáveis:

x = y = 2 1 2 ⋅ 2 - 2 5 = 2 1 10

Então os pontos mais próximos da origem são

± 2 1 10 ,   ± 2 1 10 ,   2 - 2 5

Resposta

os pontos mais próximos da origem são

± 2 1 10 ,   ± 2 1 10 ,   2 - 2 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade. f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x - 5 x 2 + y 2 ≤ 16
Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade. f x , y = e - x y x 2 + 4 y 2 ≤ 1
Considere o problema de minimizar a função f x ,y = x na curva y 2 + x 4 - x 3 = 0 (uma piriforme).(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.(b) Mostre que o valor mín
Considere o problema de maximizar a função f x ,y = 2 x + 3 y sujeita à restrição x + y = 5 .(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver o problema.(b) f 25 ,0 dá um valor maior que o
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.31. Exercício 4141. Determine os pontos do z 2 = x 2 + y 2 que estão mais próximos do pon