Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 41
Utilize o resultado do Exercício , parte (c), para calcular as seguintes integrais:
(a)
(b)
Passo 1
Fala, amigos! Tudo certo?
A questão pede para usarmos o resultado da parte c) do exercício 40 para resolvermos as integrais:
E:
O resultado desse exercício é:
Então aqui nós vamos precisar manipular os limites de integração e a função do integrando até chegarmos na igualdade acima, daí será só substituir a integral por seu valor.
Passo 2
(a) Galera, vamos tentar resolver a integral usando integração por partes, lembrando que temos que usar o seguinte resultado:
Nossa integral é:
Vamos fazer umas manipulações para deixarmos nossa integral com a forma da integral do resultado do exercício 40c). Reescrevendo a integral:
Resolvendo essa integral, teremos;
Aplicando os limites de integração na primeira soma e tirando a constante da integral que ainda não resolvemos:
Mas dá pra percebermos que essa integral é justamente aquela que o exercício quer que a gente use. Porém, aqui ela está de a , então precisamos multiplicar por , para pegarmos só a metade do nosso resultado, que vai de até :
Utilizando a parte c) do exercício 40:
Passo 3
(b) Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis pra resolver a integral:
Substituindo na integral que estamos calculando:
Tirando a constante para fora e voltando para a variável original:
Opa! Vemos que o lado direito da nossa equação acima é justamente o resultado que achamos na parte a), e nós achamos esse resultado de a) justamente através da parte do exercício . Usando o resultado item anterior:
Resposta
(a)
(b)