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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 23

O valor de Γ ( 1 / 2 )   A função gama,

Γ ( x ) = ∫ 0 ∞   t x - 1 e - t d t ,

estende a função fatorial de inteiros não negativos para outros valores reais. De particular interesse na teoria das equações diferenciais é o número

Γ 1 2 = ∫ 0 ∞   t ( 1 / 2 ) - 1 e - t d t = ∫ 0 ∞   e - t t d t

a. Se você ainda não fez o Exercício 41 na Seção 15.4, faça-o agora, para mostrar que

I = ∫ 0 ∞   e - y 2 d y = π 2 .

b. Substitua y = t na Equação 2 para mostrar que Γ ( 1 / 2 ) = 2 I = π .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A função gama

Γ ( x ) = ∫ 0 ∞   t x - 1 e - t d t

Estende a função fatorial de inteiros não negativos para outros valores reais. De interesse particular na teoria de equações diferenciais o valor Γ 1 2 . Nosso objetivo é:(a) Mostrar que I = ∫ 0 ∞   e - y 2 d y = π 2 (continuação do exercício 41 da seção 15.4);(b) Substituir o valor y = t para mostrar que Γ 1 2 = 2 I = π .Podemos começar? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Step 2 of 4 人Volte ao exercício 41 da seção 15.4 e observe que:

I 2 = ∫ 0 ∞     ∫ 0 ∞     e - x 2 + y 2 d x d y I 2 = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 ∞     e - r 2 ⋅ d r d θ I 2 = ∫ 0 π / 2     l i m b → ∞   ∫ 0 b     r e - r 2 d r ∣ d θ I 2 = - 1 2 ∫ 0 π / 2     l i m b → ∞   e - b 2 - 1 d θ I 2 = π 4

Portanto, temos que I = π 2 .

Passo 3

Substituindo y = t , calcularemos que Γ 1 2 valerá:

Γ 1 2 = ∫ o ∞     t - 1 / 2 e - t d t Γ 1 2 = ∫ o ∞     y 2 - 1 / 2 e - y 2 ( 2 y ) d y Γ 1 2 = 2 ∫ o ∞     e - y 2 d y Γ 1 2 = 2 π 2 Γ 1 2 = π

Resposta

Portanto, temos que Γ 1 2 = π = 2 I para y = t .

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