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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 14

Uma região R no plano x y é dada. Determine equações para a transformação   T que mapeia uma região retangular   S no plano u v sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v .

R é ligado pelas hipérboles y = 1 x ,   y = 4 x e pelas retas y =   x , y = 4 x no primeiro quadrante.

Passo 1

E aí, gente! Belezinha?

O enunciado diz que estamos numa região R no plano x y . Ok?

Ela está pedindo para determinar as equações dessa região ligada pelas hipérboles

y = 1 x

  y = 4 x

E pelas retas

y =   x

y = 4 x

Para podermos fazer a transformação T que mapeia uma região retangular S em um outro plano ( u ,   v ) que está sobre R , e os lados S são paralelos aos eixos u v .

Socorro, né? Mas calma.

Para o exercício em questão já temos as equações para cada lado da figura, precisamos encontrar os limites e uma forma de relacionar com u v manipulando as equações que já temos.

Passo 2

Vamos jogar no programa e montar o gráfico:

Podemos separar as curvas em 2 conjuntos: um conjunto com as hipérboles e um conjunto com as duas retas.

Dessa forma, temos que o primeiro conjunto, de hipérboles, será

y = 1 x → x y = 1

y = 4 x → x y = 4

Observa que há termos em comum?

Vamos fazer com que

u = x ⋅ y

Substituindo na equação, ficamos então com

u = 1

u = 4

Logo, temos que nosso u terá o intervalo de 1 ≤ u ≤ 4 .

Passo 3

Para v , vamos usar o segundo conjunto, o de retas, para encontrar quais serão seus limites

y = x → y x = 1

y = 4 x → y x = 4

Também temos termos em comum. Por isso, vamos chamar

v = y x

Assim, temos que seus limites serão

v = 1

v = 4

E nosso intervalo será:

1 ≤ v ≤ 4

Assim, plotando o gráfico, ficamos que nossa função em u v será

Show de bolaaa! 😊

Resposta

u = x y

v = y x

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