Uma região R no plano xy é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano u v sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v .

R é o paralelogramo com vértices (0, 0), (4, 3), (2, 4), (-2, 1) .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem por aí?

A questão pede as equações para a transformação T da região R no plano x y para a região S no plano u v , onde os lados da região retangular de S são paralelos aos eixos u e v e nossa região R é:

o paralelogramo com vértices ( 0 ,   0 ) ,   ( 4 ,   3 ) ,   ( 2 ,   4 ) ,   ( - 2 ,   1 )

Graficamente, temos que:

Região de integração

Dessa forma, fica claro que mudanças de variável do tipo

u = 4 y - 3 x

v = x + 2 y

Irá resolver o nosso problema!

Passo 2

Temos uma transformação que nos leva do plano x y para o plano u v . Porém, o que o exercício nos pede é uma transformação T que leva do plano u v para o plano x y . Isso é bastante simples de se fazer, basta isolarmos x e y no sistema de equações que encontramos:

u = - 3 x + 4 y v = x + 2 y

Multiplicando a segunda equação por 3 , temos:

3 v = 3 x + 6 y

Somando com a primeira equação, temos:

u + 3 v = 10 y ⟹ y = 1 10 u + 3 v

Agora, temos que:

x = v - 2 y = v - 1 10 u + 3 v

x = 1 5 2 v - u

Assim, a nossa transformação é:

T u , v = 1 5 2 v - u , 1 10 u + 3 v

Observe que T é uma transformação linear (aquela mesma estuda em Algebra Linear!)

Resposta

T u , v = 1 5 2 v - u , 1 10 u + 3 v

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