Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 12
Uma região no plano é dada. Determine equações para a transformação que mapeia uma região retangular no plano sobre , onde os lados de são paralelos aos eixos e .
é o paralelogramo com vértices .
Passo 1
Fala, galera! Tudo bem por aí?
A questão pede as equações para a transformação da região no plano para a região no plano , onde os lados da região retangular de são paralelos aos eixos e e nossa região é:
o paralelogramo com vértices
Graficamente, temos que:
Região de integração
Dessa forma, fica claro que mudanças de variável do tipo
Irá resolver o nosso problema!
Passo 2
Temos uma transformação que nos leva do plano para o plano . Porém, o que o exercício nos pede é uma transformação que leva do plano para o plano . Isso é bastante simples de se fazer, basta isolarmos e no sistema de equações que encontramos:
Multiplicando a segunda equação por , temos:
Somando com a primeira equação, temos:
Agora, temos que:
Assim, a nossa transformação é:
Observe que é uma transformação linear (aquela mesma estuda em Algebra Linear!)