Uma região R no plano xy é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S no plano uv sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v .

R é o paralelogramo com vértices (0, 0), (4, 3), (2, 4), (-2, 1) .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem por aí?

A questão pede as equações para a transformação T da região R no plano x y para a região S no plano u v , onde os lados da região retangular de S são paralelos aos eixos u e v e nossa região R é:

o paralelogramo com vértices ( 0 ,   0 ) ,   ( 4 ,   3 ) ,   ( 2 ,   4 ) ,   ( - 2 ,   1 )

Graficamente, temos que:

Região de integração

Nós então definimos o paralelogramo como:

- 10 < 3 x - 4 y < 0

E:

0 < x + 2 y < 10

Se nós escolhermos 3 x - 4 y = u e x + 2 y = v , teremos:

- 10 < u < 0

E:

0 < v < 10

Que é o seguinte retângulo em u v :

Passo 2

Seja então:

3 x - 4 y = u   I

x + 2 y = v �� I I

Multiplicando a I I por 2 e adicionando a I :

3 x - 4 y + 2 x + 4 y = u + 2 v

5 x = u + 2 v

x = u + 2 v 5

Passo 3

Multiplicando a equação I I por - 3 e adicionando a I :

3 x - 4 y - 3 x - 6 y = u - 3 v

- 10 y = u - 3 v

y = 3 v - u 10

Resposta

x = u + 2 v 5

y = 3 v - u 10

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