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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 29

Uma região sólida no primeiro octante é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2 . A densidade do sólido é δ x , y , z = 2 x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos dado no enunciado que:

x ∈ 0,2

y ∈ 0,2 - x

z ∈ 0,2 - x - y

E sabemos que:

X c e n t = M y z M

Y c e n t = M x z M

Z c e n t = M x y M

Como exemplo, para M x y :

M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 2 x   z   d z   d y   d x

Passo 2

Primeiro, achemos a massa M:

M = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x   d z   d y   d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x z 0 2 - x - y   d y   d x

∫ 0 2 2 ∫ 0 2 - x x 2 - x - y   d y   d x

∫ 0 2 2 x y 0 2 - x - x 2 y 0 2 - x - x 2 y 2 0 2 - x   d x

∫ 0 2 2 x 3 2 - 2 x 2 + 2 x d x

2 1 8 x 4 0 2 - 2 3 x 3 0 2 + x 2 0 2

M = 4 3

Passo 3

Para M x y :

M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x z   d z   d y   d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x z 2 0 2 - x - y d y   d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 2 - x - y 2 d y   d x

∫ 0 2 x 2 - x 3 3 d x

M x y = 8 15

Para M x z :

M x z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x y   d z   d y   d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x   2 x y z 0 2 - x - y d y   d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x y 2 - x - y d y   d x

∫ 0 2 2 x y 2 0 2 - x - x 2 2 y 2 0 2 - x - x 3 y 3 0 2 d x

M x z = 8 15

Veja que M x z = M x y = 8 15 por simetria.

Para M y z :

M y z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x 2   d z   d y   d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x 2 z 0 2 - x - y   d y   d x

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x 2 2 - x - y d y   d x

∫ 0 2 2 2 x 2 y 0 2 - x - x 3 y 0 2 - x - x 2 2 y 2 0 2 - x d x

∫ 0 2 2 x - x 2 2 d x

4 3 x 3 0 2 + 1 5 x 5 0 2 - x 4 0 2

M y z = 16 15

E como já dito anteriormente:

x c e n t = M y z M

y c e n t = M x z M

z c e n t = M x y M

Logo

y c e n t = z c e n t = M x z M = M x y M = 8 15 4 3 = 2 5

x c e n t = 16 15 4 3 = 4 5

Resposta

M = 4 3

y c e n t = z c e n t = 2 5

x c e n t = 4 5

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Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E é delimitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 no primeiro octante.
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Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V , onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .
Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E z d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.