Uma região sólida no primeiro octante é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2 . A densidade do sólido é δ x , y , z = 2 x Passo 1Faaaala, cara! Tranquileba? Temos dado no enunciado que: x ∈ 0,2 y ∈ 0,2 - x z ∈ 0,2 - x - y E sabemos que: X c e n t = M y z M Y c e n t = M x z M Z c e n t = M x y M Como exemplo, para M x y : M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 2 x z d z d y d x Passo 2Primeiro, achemos a massa M: M = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x d z d y d x ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x z 0 2 - x - y d y d x ∫ 0 2 2 ∫ 0 2 - x x 2 - x - y d y d x ∫ 0 2 2 x y 0 2 - x - x 2 y 0 2 - x - x 2 y 2 0 2 - x d x ∫ 0 2 2 x 3 2 - 2 x 2 + 2 x d x 2 1 8 x 4 0 2 - 2 3 x 3 0 2 + x 2 0 2 M = 4 3 Passo 3Para M x y : M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x z d z d y d x ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x z 2 0 2 - x - y d y d x ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 2 - x - y 2 d y d x ∫ 0 2 x 2 - x 3 3 d x M x y = 8 15 Para M x z : M x z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x y d z d y d x ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x y z 0 2 - x - y d y d x ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x y 2 - x - y d y d x ∫ 0 2 2 x y 2 0 2 - x - x 2 2 y 2 0 2 - x - x 3 y 3 0 2 d x M x z = 8 15 Veja que M x z = M x y = 8 15 por simetria. Para M y z : M y z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x 2 d z d y d x ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x 2 z 0 2 - x - y d y d x ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x 2 2 - x - y d y d x ∫ 0 2 2 2 x 2 y 0 2 - x - x 3 y 0 2 - x - x 2 2 y 2 0 2 - x d x ∫ 0 2 2 x - x 2 2 d x 4 3 x 3 0 2 + 1 5 x 5 0 2 - x 4 0 2 M y z = 16 15 E como já dito anteriormente: x c e n t = M y z M y c e n t = M x z M z c e n t = M x y M Logo y c e n t = z c e n t = M x z M = M x y M = 8 15 4 3 = 2 5 x c e n t = 16 15 4 3 = 4 5 Resposta M = 4 3 y c e n t = z c e n t = 2 5 x c e n t = 4 5 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios de Livros RelacionadosUtilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E é delimitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 no primeiro octante.Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E x 2 d V , onde E é limitado pelo plano x z e pelos hemisférios y = 9 - x 2 - z 2 e y = 16 - x 2 - z 2 .Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V , onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E z d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 no primeiro octante.Ver TambémVer tudo sobre Integrais TriplasLista de exercícios de Mudança para Coordenadas EsféricasVer exercício 15.6 - 22Ver exercício 15.7 - 4