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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 20

Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f x , y , z em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado.

Passo 1

Fala, pessoal!

Essa questão é moleza, relaxa aí!

Ela quer uma integral tripla de uma função f x , y , z que represente essa região em azul da imagem, tranquilo?

Daí precisamos ver se faremos pelas coordenadas cilíndricas ou esféricas.

Pela imagem, sabemos que é uma esfera oca, né verdade?

Então iremos utilizar as coordenadas esféricas!

Relembrando, temos:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , z = ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 d V = ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Belê! 😊

Passo 2

Como esse problema fica melhor escrito em coordenadas esféricas, vamos substituir o que temos:

∭ E f x , y , z d V =

∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

Onde ρ é a distância da origem ao ponto, θ é o ângulo formado em relação ao eixo x e ϕ é o ângulo formado em relação ao eixo z.

Passo 3

Temos então pela figura que:

1 ≤ ρ ≤ 2

π 2 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Pronto, agora é só substituir:

∫ 0 π 2 ∫ π 2 2 π ∫ 1 2 f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Molezaaa!😉

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ π 2 2 π ∫ 1 2 f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

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