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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 4

int_0^(pi) int_0^((theta)/(pi)) int_(- sqrt(4 - r^2))^(3 sqrt(4 - r^2)) z d z r d r d theta

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

int_0^(pi) int_0^((theta)/(pi)) int_(- sqrt(4 - r^2))^(3 sqrt(4 - r^2)) z r d z d r d theta

Passo 2

int_0^(pi) int_0^((theta)/(pi)) ( (r)/(2) [z^2]_(- sqrt(4 - r^2))^(3 sqrt(4 - r^2)) d r d theta

int_0^(pi) int_0^((theta)/(pi)) (r)/(2) ( 9 (4 - r^2) - (+ 4 - r^2) d r d theta

int_0^(pi) int_0^((theta)/(pi)) (36 r - 8 r^2 - 4 r)/(2) d r d theta

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

int_0^(pi) ( 18 int_0^((theta)/(pi)) r d r - 4 int_0^((theta)/(pi)) r^3 d r - 2 int_0^((theta)/(pi)) r d r ) d theta

Passo 3

int_0^(pi) (9 [r^2]_0^((theta)/(pi)) - [r^4]_0^((theta)/(pi)) - [r^2]_0^((theta)/(pi))) d theta

int_0^(pi) ((9 theta^2)/(pi^2) - ((theta)/(pi))^4 - ((theta)/(pi))^2) d theta

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

((9)/(pi^2) int_0^(pi) theta^2 d theta - (1)/(pi^4) int_0^(pi) theta^4 d theta - (1)/(pi^2) int_0^(pi) theta^2 d theta)

( (3)/(pi^2) [theta^3]_0^(pi) - (1)/(5 pi^4) [theta^5]_0^(pi) - (1)/(3 pi^2) [theta^3]_0^(pi)

(37 pi)/(15)

Resposta

(37 pi)/(15)

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int_0^(2 pi) int_0^3 int_0^(z // 3) r^3 d r d z d theta
int_0^(2 pi) int_0^((theta)/(2 pi)) int_0^(3 + 24 r^2) d z r d r d theta
int_(- 1)^1 int_0^(2 pi) int_0^(1 + cos (theta)) 4 r d r d theta d z
int_0^(2 pi) int_0^1 int_r^((1)/(sqrt(2 - r^2))) 3 d z r d r d theta